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Ejemplos Resueltos de Formalización Proposicional

Última modificación: 21 de Septiembre de 2020, y ha tenido 183 vistas

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  1. O está lloviendo y nevando, o está soplando el viento.

    $p$: Está lloviendo

    $q$: Está nevando

    $r$: Está soplando el viento

    $$(p \wedge q) \vee r$$

  2. O los hombres han nacido iguales o no son libres.

    $p$: Los hombres han nacido iguales

    $q$: Los hombres son libres

    $$p \vee \neg q$$

  3. O bien Moriarty y Crumm son ambos culpables, o Crumm es inocente.

    $p$: Moriarty es inocente

    $q$: Crumm es inocente

    $$(\neg p \wedge \neg q) \vee r$$

  4. O Crumm es culpable, o él y Moriarty lo son conjuntamente.

    $p$: Crumm es inocente

    $q$: Moriarty es inocente

    $$\neg p \vee (\neg p \wedge \neg q)$$

  5. O bien Moriarty es culpable, o Crumm es inocente, o ambos son culpables.

    $p$: Moriarty es inocente

    $q$: Crumm es inocente

    $$\neg p \vee q \vee (\neg p \wedge \neg q)$$

  6. O Holmes lleva razón, o Moriarty y Crumm son o ambos culpables o ambos inocentes; y Crumm es culpable.

    $p$: Holmes lleva razón

    $q$: Moriarty es inocente

    $r$: Crumm es inocente

    $$[p \vee ((\neg q \wedge \neg r) \vee (q \wedge r))] \wedge \neg r$$

  7. Luis se irá si Pablo se queda.

    $p$: Luis se irá

    $q$: Pablo se queda

    $$q \rightarrow p$$

  8. Si Pablo se queda, entonces Luis se va.

    $p$: Pablo se queda

    $q$: Luis se va

    $$p \rightarrow q$$

  9. Supuesto que Pablo se quede, Luis se irá.

    $p$: Pablo se queda

    $q$: Luis se irá

    $$p \rightarrow q$$

  10. Luis se irá en caso de que Pablo se quede.

    $p$: Luis se irá

    $q$: Pablo se queda

    $$q \rightarrow p$$

  11. Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de seguridad.

    $p$: cientos de vidas pueden salvarse cada año

    $q$: La gente utiliza el cinturón de seguridad

    $$q \rightarrow p$$

  12. Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia están presentes.

    $p$: Democracia significa un modo de vida en el que la libertad está presente

    $q$: Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente

    $$p \wedge q$$

  13. No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos espaciales no pueden alunizar en ella.

    $p$: La luna está hecha de queso verde

    $q$: Los vehículos espaciales pueden alunizar en la luna

    $$\neg (p \rightarrow \neg q)$$

  14. Si la Reina Roja está furiosa, entonces o el Conejo Blanco está desconcertado o Alicia no será coronada reina.

    $p$: La reina roja está furiosa

    $q$: El conejo Blanco está desconcertado

    $r$: Alicia será coronada

    $$p \rightarrow (q \vee \neg r)$$

  15. Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú no puedes ser más rico que tu compañero si dices que sois verdaderos amigos. (Platón)

    $p$: Los verdaderos amigos tienen todo en común

    $q$: Puedes ser más rico que tu compañero

    $r$: Dices que tú y tu compañero sois verdaderos amigos

    $$p \rightarrow (r \rightarrow \neg q)$$

  16. 2 es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

    $p$: 2 es un número primo

    $q$: 2 es divisible por sí mismo

    $r$: 2 es divisible por la unidad

    $$p \leftrightarrow (q \wedge r)$$

  17. Juan irá a la fiesta sólo si María va.

    $p$: Juan va a la fiesta

    $q$: María va a la fiesta

    $$p \rightarrow q$$

    Comentario: Que María esté en la fiesta es una condición necesaria que Juan pone para ir. De modo que lo que Juan excluye es que él esté en la fiesta ($p$) y que maría no esté. Si no es posible que Juan esté en la fiesta y María no es porque la presencia de Juan implica la presencia de María. Nótese que es posible que María asista a la fiesta y Juan no

  18. Juan entrará en la Universidad sólo si obtiene buena puntuación en los exámenes.

    $p$: Juan Entrará en la Universidad

    $q$: Juan ha obtenido buena puntuación en los exámenes

    $$p \rightarrow q$$

  19. Proporciónenos los medios y nosotros solucionaremos el asunto.

    $p$: Usted nos proporciona los medios

    $q$: Nosotros solucionamos el asunto

    $$p \rightarrow q$$

    Comentario: Aunque a primera vista puede parecer una conjunción, el sentido que se le está dando es condicional. La proposición no está afirmando dos cosas inconexas, sino que vincula la segunda afirmación a la primera.

  20. Obtendrás las licenciatura a condición de que superes el último curso.

    $p$: Obtendrás la licenciatura

    $q$: Superas el último curso

    $$p \rightarrow q$$

    Comentario: ¿Es posible superar la licenciatura y no haber superado el último curso? Si la proposición es verdadera, no, por tanto, según la tabla de verdad del condicional, la obtención de la licenciatura implica que se ha superado el último curso. Observa que la proposición no impide que superes el último curso sin obtener la licenciatura... podrías no haber pagado los derechos de matrícula... lo que está claro es que SI la obtienes ENTONCES has superado el último curso, aunque tengas que cumplir otras condiciones adicionales.

  21. A menos que me detenga a comer en la carretera, llegaré a primera hora de la tarde.

    $p$: Me detengo a comer en la carretera

    $q$: Llego a primera hora de la tarde

    $$\neg q \rightarrow p$$

    (también valdría: $\neg p \rightarrow q$)

    Comentario: Quien afirma esta frase sólo admite una posible eventualidad para retrasarse, que pare a comer. De modo que sabemos algo con seguridad, que SI no llega, ENTONCES se ha parado a comer. Ninguna otra cosa puede retrasarle. Esto es equivalente a decir que si no se detiene entonces llegará a primera hora de la tarde.

    ¿Por qué no es correcto $p \rightarrow \neg q$? Si fuera así, el conductor estaría admitiendo que es posible no llegar a primera hora de la tarde sin haberse detenido a comer (si el antecedente es 0 y el consecuente 1, el condicional sigue siendo 1) , y esto no es en absoluto lo que afirma.

  22. Nos veremos en el parque, supuesto que no llueva.

    $p$: Nos veremos en el parque

    $q$: Llueve

    $$q \rightarrow \neg p$$

    Comentario: si alguien nos dice esto, y resulta que se pone a llover, ENTONCES no le esperaremos en el parque. Ese 'supuesto que no llueva' significa 'siempre y cuando no llueva'. Se está afirmando que es imposible que llueva y nos veamos en el parque. Sólo diríamos que miente si llueve y nos lo encontramos por el parque. Por lo tanto SI llueve, ENTONCES nos veremos en el parque. También podría formalizarse así: $p \rightarrow \neg q$ (Si nos vemos en el parque, entonces no está lloviendo).

  23. Si los que ya son sabios no buscan la sabiduría y los ignorantes impenitentes tampoco, entonces los que la busquen no serán los sabios ni los ignorantes, sino aquellos que reconocen su propia ignorancia y desean remediarla.

    $p$: Los sabios buscan la sabiduría

    $q$: Los ignorantes buscan la sabiduría

    $r$: Aquellos que reconocen la propia ignorancia y desean remediarla buscan la sabiduría

    $$(\neg p \wedge \neg q) \rightarrow r$$

  24. Un conjunto $C$ es un subconjunto propio de un conjunto $D$ si y sólo si no hay ningún elemento de $C$ que no sea de $D$, pero hay un elemento de $D$ que no es de $C$.

    $p$: Un conjunto $C$ es un subconjunto propio de un conjunto $D$

    $q$: Hay algún elemento de $C$ que no es de $D$

    $r$: Hay un elemento de $D$ que no es de $C$

    $$p \leftrightarrow (\neg q \wedge r)$$

  25. Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el producto de dos números reales positivos es un número real positivo.

    $p$: La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva

    $q$: El producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva

    $r$: La suma de dos números reales positivos es un número real positivo

    $s$: El producto de dos números reales positivos es un número real positivo

    $$(p \wedge q) \leftrightarrow (r \wedge s)$$

  26. Si Frankestein cruza nuestras calles, ha de indicar qué y cuántos fines persigue, y si miente, le daremos con las puertas en las narices, pero si dice la verdad, le invitaremos a cenar.

    $p$: Frankestein cruza nuestras calles

    $q$: Frankestein ha de indicar qué fines persigue

    $r$: Frankestein ha de indicar cuántos fines persigue

    $s$: Frankestein dice la verdad

    $t$: Le damos a Frankestein con la puerta en las narices

    $u$: Invitamos a cenar a Frankestein

    $$(p \rightarrow (q \wedge r)) \wedge (\neg s \rightarrow t) \wedge (s \rightarrow r) $$

  27. El hidróxido de aluminio es maleable y, a igualdad de peso, mejor conductor de la electricidad que el cobre.

    $p$: El hidróxido de aluminio es maleable

    $q$: Se nos dan una cantidad de hidróxido de aluminio y otra de cobre, con el mismo peso

    $r$: El hidróxido de aluminio es mejor conductor de la electricidad que el cobre

    $$p \wedge (q \rightarrow r)$$

  28. Si el hombre es moral, no está determinado unívocamente por el ambiente y cabe exigirle cuenta de sus elecciones.

    $p$: El hombre es moral

    $q$: El hombre está determinado unívocamente por el ambiente

    $r$: Cabe exigir al hombre cuenta de sus elecciones

    $$p \rightarrow (\neg q \wedge r)$$

  29. Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desean evitar complicaciones a otros hijos.

    $p$: El Rh de la futura madre es negativo

    $q$: La sangre del recién nacido debe analizarse inmediatamente después de cada parto

    $r$: La sangre del recién nacido es Rh positivo

    $s$: Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado

    $t$: Se desea evitar complicaciones a otros hijos

    $$(p \rightarrow q) \wedge (r \rightarrow (t \rightarrow s))$$

  30. O la Televisión modifica sus esquemas y renueva su programación o se producirá una huida masiva de telespectadores y veremos las calles inundadas de gente.

    $p$: La televisión modifica sus esquemas

    $q$: La televisión renueva su programación

    $r$: Se producirá una huida masiva de telespectadores

    $s$: Veremos las calles inundadas de gente

    $$(p \wedge q) \vee (r \wedge s)$$

  31. Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en ellos si y sólo si cumplen sus promesas y el poder no les corrompe.

    $p$: Se ganan las elecciones

    $q$: Nuestros representantes acceden al poder

    $r$: Confiaremos en nuestros representantes

    $s$: Nuestros representantes cumplen sus promesas

    $t$: El poder corrompe a nuestros representantes

    $$(p \wedge q) \rightarrow (r \leftrightarrow (s \wedge \neg t))$$

  32. Aristóteles nació en Estagira y fue tutor de Alejandro Magno. Pero si nació en Estagira fue de nacionalidad macedónica. Por tanto Aristóteles fue de nacionalidad macedónica.

    $p$: Aristóteles nació en Estagira

    $q$: Aristóteles fue tutor de Alejandro Magno

    $r$: Aristóteles es de nacionalidad macedónica

    $$[(p \wedge q) \wedge (q \rightarrow r)] \rightarrow r$$

  33. Sócrates: ¿Convenimos en admitir que una cosa no puede ser enseñada si no hay profesores capaces de enseñarla? Menón: Por supuesto. Sócrates: Pero ¿es que hay en lugar alguno profesores capaces de enseñar la virtud? Menón: No los hay Sócrates: ¿Puede entonces ser enseñada la virtud? Menón: No, si nuestra opinión es correcta.

    $p$: Una cosa puede ser enseñada

    $q$: Hay profesores capaces de enseñar una cosa.

    $r$: Hay profesores capaces de enseñar la virtud

    $s$: La virtud puede ser enseñada

    $$[(\neg q \rightarrow \neg p) \wedge \neg r] \rightarrow \neg s$$

  34. Si continúa la investigación, surgirán nuevas evidencias. Si surgen nuevas evidencias, entonces varios dirigentes se verán implicados. Si varios dirigentes están implicados, los periódicos dejarán de hablar del caso. Si la continuación de la investigación implica que los periódicos dejen de hablar del caso, entonces, el surgimiento de nuevas evidencias implica que la investigación continúa. La investigación no continúa. Por tanto, no surgirán nuevas evidencias.

    $p$: Continúa la investigación

    $q$: Surgen nuevas evidencias

    $r$: Varios dirigentes se verán implicados

    $s$: Los periódicos dejarán de hablar del caso.

    $$\{p \rightarrow q,\ q \rightarrow r,\ r \rightarrow s,\ (p \rightarrow s) \rightarrow (q \rightarrow p),\ \neg p\}\models \neg q$$

  35. Sócrates no cometería una mala acción. Si devuelve mal por mal, estará cometiendo una mala acción. Si rompe un acuerdo con el Estado porque ha sido injustamente condenado, está devolviendo mal por mal. Por tanto, si el huir de la prisión significa romper un acuerdo por haber sido injustamente castigado, Sócrates no huirá de la prisión.

    $p$: Sócrates comete una mala acción

    $q$: Sócrates devuelve mal por mal

    $r$: Sócrates rompe un acuerdo con el Estado por haber sido injustamente condenado

    $s$: Sócrates huye de la prisión

    $$\{\neg p,\ q \rightarrow p,\ r \rightarrow q\}\models (s \rightarrow r) \rightarrow \neg s$$

  36. Si la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la persona, entonces, si supone la destrucción total de la persona, imposibilita la corrección del penado. Imposibilita la corrección del penado sólo si es condenable éticamente. La pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la persona. Por tanto, si la pena de muerte supone la destrucción total de la persona e imposibilita la corrección del penado, es condenable éticamente.

    $p$: La pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la persona

    $q$: La pena de muerte supone la destrucción total de la persona

    $r$: La pena de muerte imposibilita la corrección del penado

    $s$: La pena de muerte es condenable éticamente

    $$\{p \rightarrow (q \rightarrow r),\ r \rightarrow s,\ p\}\models (q \wedge r) \rightarrow s$$

  37. Si el número $n$ es positivo, entonces $n^2$ es positivo. Si $n$ es negativo, entonces $n^2$ es positivo. $n$ es positivo o negativo. En consecuencia, $n^2$ es positivo.

    $p$: El número $n$ es positivo

    $q$: El número $n^2$ es positivo

    $$\{p \rightarrow q,\ \neg p \rightarrow q,\ p \vee \neg p\}\models q$$

  38. O los libros de la Biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán o no las contienen. Si contienen las enseñanzas del Corán son superfluos, y si son superfluos deben ser quemados. Si no contienen las enseñanzas del Corán son nocivos, y si son nocivos deben ser quemados. Por consiguiente, los libros de la Biblioteca de Alejandría deben ser quemados.

    $p$: Los libros de la Biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán

    $q$: Los libros de la Biblioteca de Alejandría son superfluos

    $r$: Los libros de la Biblioteca de Alejandría deben ser quemados

    $s$: Los libros de la Biblioteca de Alejandría son nocivos

    $$\{p \vee \neg p,\ (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow r),\ (\neg p \rightarrow s) \wedge (s \rightarrow r)\}\models r$$

  39. Juan es francés si nació el 23 de febrero. Si es bretón, entonces es más bien bajo. Ahora bien, nació el 23 de febrero o es bretón. Por consiguiente, es francés o es más bien bajo.

    $p$: Juan es francés

    $q$: Juan nació el 23 de febrero

    $r$: Juan es bretón

    $s$: Juan es más bien bajo

    $$\{q \rightarrow p,\ r \rightarrow s,\ q \vee r\} \models p \vee s$$

  40. Un sólo proveedor no puede afectar los precios si el mercado es libre. Si un sólo proveedor no puede afectar los precios, es que hay un gran número de proveedores. Es así que no hay un gran número de proveedores; luego, no es libre el mercado.

    $p$: un sólo proveedor puede afectar los precios

    $q$: el mercado es libre

    $r$: hay un gran número de proveedores

    $$\{q \rightarrow \neg p,\ \neg p \rightarrow r,\ \neg r\} \models \neg q $$

  41. Si $a$ es un número par y $b$ es un número impar, entonces $c$ es igual a $a$. Ahora bien, $c$ no es igual a $a$ a menos que sea mayor que $b$. Pero $c$ no es mayor que $b$. Además, $a$ es un número par. Luego, $b$ no es un número impar.

    $p$: $a$ es un número par

    $q$: $b$ es un número impar

    $r$: $c$ es igual a $a$

    $s$: $c$ es mayor que $b$

    $$\{p \wedge q \rightarrow r,\ \neg r \vee s,\ \neg s,\ p\}\models \neg q $$

  42. Si se elevan los precios o los salarios habrá inflación. Si hay inflación, el gobierno ha de regularla o el pueblo sufrirá. Si el pueblo sufre, los gobernantes se harán más impopulares. Pero es así que el gobierno no regulará la inflación y que, sin embargo, los gobernantes no se harán más impopulares. Entonces es que no subirán los salarios.

    $p$: se elevan los precios

    $q$: se elevan los salarios

    $r$: habrá inflación

    $s$: el gobierno ha de regular la inflación

    $t$: el pueblo sufre

    $u$: los gobernantes se harán más impopulares $$\{p \vee q \rightarrow r,\ r \rightarrow s \vee t,\ t \rightarrow u,\ \neg s \wedge \neg u\} \models \neg q$$

  43. Si no hay subsidios del gobierno para la agricultura, hay controles sobre la agricultura. Si hay controles sobre la agricultura, no hay depresión. Habrá depresión a no ser que haya sobreproducción agrícola. Ahora bien, no hay sobreproducción. Por tanto, hay subsidios del gobierno para la agricultura.

    $p$: hay subsidios del gobierno para la agricultura

    $q$: hay controles sobre la agricultura

    $r$: hay depresión

    $s$: hay sobreproducción agrícola

    $$\{\neg p \rightarrow q,\ q \rightarrow \neg r,\ r \vee s,\ \neg s\} \models p$$

  44. Caso que ellos quieran la paz de verdad, y que nosotros seamos superiores en armamento, obstaculizaremos la conferencia de desarme. Habrá guerra a no ser que dejemos de obstaculizarla. Y la habrá sólo si ellos no desean verdaderamente la paz. Luego, es claro que ellos no desean la paz de verdad.

    $p$: ellos quieren la paz de verdad

    $q$: nosotros somos superiores en armamento

    $r$: obstaculizamos la conferencia de desarme

    $s$: habrá guerra

    $$\{p \wedge q \rightarrow r,\ s \vee \neg r,\ s \rightarrow \neg p\} \models \neg p$$

  45. Los salarios no suben si no aumentan los precios. No obstante, subirán los salarios y no los precios, a no ser que suban los salarios y simultáneamente se produzca inflación. Luego, en cualquier caso se producirá inflación.

    $p$: los salarios suben

    $q$: aumentan los precios

    $r$: se produce inflación

    $$\{\neg q \rightarrow \neg p,\ (p \wedge \neg q) \vee (p \wedge r)\} \models r$$

  46. Si el tiempo está agradable y el cielo despejado, saldremos a navegar y nos daremos un baño. No es verdad que el cielo no esté despejado a menos que nos bañemos. Luego el tiempo no está agradable.

    $p$: el tiempo está agradable

    $q$: el cielo está despejado

    $r$: saldremos a navegar

    $s$: nos daremos un baño

    $$\{p \wedge q \rightarrow r \wedge s,\ \neg (\neg q \vee s)\} \models \neg p$$

  47. El ladrón debió entrar por la puerta, a menos que el robo se perpetrara desde dentro y uno de los sirvientes estuviera implicado en él. Pero sólo podía entrar por la puerta si alguien le descorría el cerrojo. Si alguien lo hizo, es que uno de los sirvientes estaba implicado en el robo. Luego, seguro que algún sirviente ha estado implicado.

    $p$: el ladrón debió entrar por la puerta

    $q$: el robo se perpetró desde dentro

    $r$: uno de los sirvientes estuvo implicado en el robo

    $s$: alguien descorrió el cerrojo

    $$\{p \vee (q \wedge r),\ p \rightarrow s,\ s \rightarrow r\} \models r$$

  48. La física cuántica describe la naturaleza a base de observables clásicos o a base de estados abstractos. Si la describe mediante los primeros, entonces nos permite representar las cosas intuitivamente, pero nos exige renunciar a la causalidad. En cambio, si la describe mediante los segundos, nos impide la representación intuitiva, pero nos permite conservar la causalidad. La física cuántica nos permitirá representar las cosas intuitivamente, a no ser que nos exija renunciar a la causalidad. Por tanto, no es cierto que nos permita representar las cosas intuitivamente sólo si no renuncia a la causalidad.

    $p$: la física cuántica describe la naturaleza a base de observables clásicos

    $q$: la física cuántica describe la naturaleza a base de estados abstractos

    $r$: la física cuántica nos permite representar las cosas intuitivamente

    $s$: la física cuántica nos permite conservar la causalidad

    $$\{p \vee q,\ p \rightarrow r \wedge \neg s,\ q \rightarrow \neg r \wedge s,\ r \vee \neg s\} \models \neg (r \rightarrow \neg \neg s)$$

  49. Perderé mi apuesta a no ser que la palabra “pentágono” signifique “transparente”. Sucede que las figuras geométricas denominadas “triángulos” tienen exactamente tres ángulos. Si los triángulos tienen tres ángulos, resulta que alguna relación habrá entre las características de las figuras geométricas y los nombres que se les asignan. Y esto es así sólo si la palabra “pentágono” no significa “transparente”. Luego, puedo dar mi apuesta por perdida.

    $p$: perderé mi apuesta

    $q$: la palabra “pentágono” significa “transparente”

    $r$: las figuras geométricas denominadas “triángulos” tienen tres ángulos

    $s$: hay alguna relación entre las características de las figuras geométricas y los nombres que se les asignan

    $$\{p \vee q,\ r,\ r \rightarrow s,\ s \rightarrow \neg q\} \models p$$

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